Progressões aritméticas e geométricas no ENEM

Entenda antes de memorizar

Uma progressão é uma sequência de números que segue um padrão previsível de variação entre termos consecutivos. Na progressão aritmética (PA), esse padrão é uma soma constante — cada termo é obtido somando sempre o mesmo valor ao termo anterior; na progressão geométrica (PG), o padrão é uma multiplicação constante — cada termo é obtido multiplicando o termo anterior sempre pelo mesmo valor. Essa diferença entre somar e multiplicar é a mesma que separa crescimento linear de crescimento exponencial, e reconhecer qual padrão está presente em uma sequência é o primeiro passo antes de aplicar qualquer fórmula.

Como raciocinar

Ao identificar uma sequência, calcule a diferença e a razão entre termos consecutivos: se a diferença é constante, é PA; se a razão (divisão) é constante, é PG. Escolha a fórmula do termo geral quando o problema pede um termo específico distante, e a fórmula da soma quando pede o total de vários termos. Para PG infinita, verifique primeiro se a razão está estritamente entre −1 e 1 — só nesse caso a soma infinita converge para um valor finito; fora desse intervalo, a soma cresce sem limite e a fórmula de soma infinita não se aplica.

Do conceito à aplicação

Em uma PA, a razão (r) é a diferença constante entre um termo e o anterior: an = a1 + (n − 1) × r, em que a1 é o primeiro termo e n é a posição do termo procurado. A sequência 2, 5, 8, 11, 14 é uma PA de razão 3, porque cada termo soma 3 ao anterior — reconhecer a razão é tão simples quanto subtrair dois termos consecutivos quaisquer da sequência.

Se a razão é positiva, a PA é crescente; se negativa, é decrescente; se igual a zero, todos os termos são iguais (PA constante). Essa classificação ajuda a prever rapidamente o comportamento da sequência sem precisar calcular vários termos manualmente.